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Terremoto nei numeri razionali

 
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Autore Messaggio
Tomaux
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MessaggioInviato: Mer Ott 25, 2006 6:50 pm    Oggetto: Terremoto nei numeri razionali Rispondi citando

hanno appena finito di dimostrare che 0.9999999... è esattamente uguale a uno.

questo penso che metta in discussione tutta la teoria sui numeri razionali e di conseguenza anche nei reali e nei complessi!

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
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Andrea
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MessaggioInviato: Mer Ott 25, 2006 6:59 pm    Oggetto: Rispondi citando

Ho chiamato Omino Na, ma sua madre mi ha detto che si è buttato dalla finestra con la tesi sottobraccio Very Happy
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Tomaux
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MessaggioInviato: Mer Ott 25, 2006 7:04 pm    Oggetto: Rispondi citando

ahahahahah
anche io ho pensato a lui!!
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Tomaux
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MessaggioInviato: Mer Ott 25, 2006 7:04 pm    Oggetto: Rispondi citando

fra l'altro non abita mica al piano terra? non si sarà fatto niente!!
eehheh
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MessaggioInviato: Mer Ott 25, 2006 10:30 pm    Oggetto: Rispondi citando

Ma, che io sappia, la dimostrazione che 0.999... è uguale a 1 è nota da tempo, e non è difficile... Rolling Eyes

Neo dottore, aspettiamo una tua illuminazione. Very Happy
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Omino Na
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MessaggioInviato: Mer Ott 25, 2006 11:41 pm    Oggetto: Re: Terremoto nei numeri razionali Rispondi citando

Tomaux ha scritto:
hanno appena finito di dimostrare che 0.9999999... è esattamente uguale a uno.

questo penso che metta in discussione tutta la teoria sui numeri razionali e di conseguenza anche nei reali e nei complessi!

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...


Nessuna discussione sulla teoria dei razionali, né reali né complessi. Ci mancherebbe!

Mi ricorderò sempre la prima esercitazione di analisi 1, esattamente sulle rappresentazioni decimali.

Per dire che 0.99999... =1 innanzitutto bisogna intendersi: CHE COSA SIGNIFICA 0.999...?

Chiariamo le idee. Prendiamo un numero reale, ad esempio pi greco. Che cos'è? E' un numero reale. Non è NE' un punto su una retta NE' la sequenza di simboli 3.1415.... E' un'altra cosa.

TUTTAVIA a un numero reale x si può associare la sua cosiddetta RAPPRESENTAZIONE DECIMALE, costituita dall'allineamento infinito (numerabile)

n_0, n_1 n_2 n_3 n_4 ....

e PER CONVENZIONE si pone

x = n_0, n_1 n_2 n_3 n_4 ....

Sia x_k=SOMMA_{per i da 0 a k} n_i/10^i.

Si ha come risultato un teorema che dice che
*** il numero reale x è l'estremo superiore degli x_k al variare di k.

E soprattutto si hanno due importanti risultati:
*** NON ESISTE alcuna rappresentazione decimale di periodo 9.

Sto dicendo qualcosa di FORTE!!! Sto dicendo che se io prendo un allineamento del tipo 0,45349999999... e poi tutti 9 (cioè di periodo nove), questo non è la rappresentazione decimale di alcunché!!! (è fondamentale capire la differenza tra allineamento e rappresentazione decimale: un allineamento è una sequenza qualsiasi di cifre, una rappresentazione decimale è una sequenza di cifre legata a un certo numero reale x)

*** QUALSIASI allenamento periodico NON di periodo 9 ammette una rappresentazione decimale.

Che cosa significano queste due cose insieme? Che se ci dimentichiamo le sequenze di periodo 9, abbiamo una belliiiiissima biezione tra numeri reali e le loro rappresentazioni. Le sequenze di periodo 9 SEMPLICEMENTE NON HANNO RAGIONE DI ESSERE RAPPRESENTAZIONI!!! Non ha senso dire che siano numeri reali, poiché non sono rappresentazioni di alcun numero reale!

Se interessa posso accennare alle dimostrazioni (non banali), ma spero che sia chiaro il concetto...
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L'ultima modifica di Omino Na il Mer Ott 25, 2006 11:59 pm, modificato 1 volta
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Tomaux
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MessaggioInviato: Mer Ott 25, 2006 11:54 pm    Oggetto: Rispondi citando

speravo che stesse per crollare tutta la matematica... Sad peccato... Crying or Very sad

va beh, ma alla fine noi ingegneri lo sappiamo dalla notte dei tempi che non c'è differenza tra 1 e 0,9999... ma manche tra 1 e 1,00002 o 0.9999998768

eheh
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MessaggioInviato: Gio Ott 26, 2006 6:29 am    Oggetto: Rispondi citando

Tomaux ha scritto:
c'è differenza tra 1 e 0,9999... ma manche tra 1 e 1,00002 o 0.9999998768

eheh

Più che altro se c'è non ce ne frega nulla Very Happy
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vinz
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MessaggioInviato: Gio Ott 26, 2006 4:37 pm    Oggetto: Re: Terremoto nei numeri razionali Rispondi citando

Omino Na ha scritto:
Chiariamo le idee. Prendiamo un numero reale, ad esempio pi greco. Che cos'è? E' un numero reale. Non è NE' un punto su una retta NE' la sequenza di simboli 3.1415.... E' un'altra cosa.

Ci son rimasto male...
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Francesco
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MessaggioInviato: Gio Ott 26, 2006 5:20 pm    Oggetto: Rispondi citando

interessante! Quindi la dimostrazione spiegherebbe come mai proprio gli allineamenti di periodo 9, e solo quelli, non ammettono una rappresentazione decimale?
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Omino Na
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MessaggioInviato: Gio Ott 26, 2006 6:32 pm    Oggetto: Rispondi citando

Francesco ha scritto:
interessante! Quindi la dimostrazione spiegherebbe come mai proprio gli allineamenti di periodo 9, e solo quelli, non ammettono una rappresentazione decimale?


Sì esatto. Se vuoi te la trascrivo.
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Francesco
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MessaggioInviato: Gio Ott 26, 2006 7:00 pm    Oggetto: Rispondi citando

Omino Na ha scritto:
Francesco ha scritto:
interessante! Quindi la dimostrazione spiegherebbe come mai proprio gli allineamenti di periodo 9, e solo quelli, non ammettono una rappresentazione decimale?


Sì esatto. Se vuoi te la trascrivo.


anche se presumo che ci capirò ben poco, faccio un tentativo... grazie.
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Omino Na
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MessaggioInviato: Mar Ott 31, 2006 4:44 pm    Oggetto: Rispondi citando

Scusa il ritardo, ma ho avuto un po' da fare... Mi faccio perdonare scrivendoti subito la dimostrazione. Ti do anche un primo risultato che si usa nella dimostrazione del secondo, spero non risulti troppo confuso, l'ho scritto piuttosto rapidamente.

PRIMO RISULTATO:
Sia x un numero reale positivo, sia n_0,n_1 n_2 n_3 n_4... la sua rappresentazione decimale. Detta x_k=somme (da i=0 a k) di n_i/10^i, possiamo dire che il numero reale x è l'estremo superiore degli x_k, cioè x=Sup({x_k}).

Sicuramente per ogni k positivo x_k<=x<=x_k+1/10^k, per come sono costruiti. Dunque sicuramente x è un maggiorante dell'insieme degli {x_k}, e tra i maggioranti è il più piccolo: supponiamo che ne esista uno più piccolo, diciamo x-E con E positivo.
Comunque fissato questo E, esisterà un x_q t.c. x-E<=x_q<x, e che soddisfi anche E>1/10^q (basta scegliere q abbastanza grande). In questo caso si ha
x_q=(x_q-x)+x>-1/10^k+x>-E+x,
e dunque abbiamo trovato un elemento della successione maggiore di questo x-E, da cui x-E non può essere maggiorante.


SECONDO RISULTATO. Non esistono rappresentazioni decimali periodiche di periodo nove. Ogni altro allineamento è la rappresentazione decimale di uno ed un solo numero reale non negativo.

Dimostrazione.
Consideriamo un allineamento del tipo
n_0, n_1 n_2 n_3 ...... n_k 9 9 9 9 9 9.... (e poi tutti 9, con n_k!=9).

Per assurdo sia la rappresentazione decimale di un certo numero reale x. Allora per il risultato precedente si avrebbe
x=Sup({x_j})
dove al solito gli x_j=SOMME(per h che va da 0 a j) di n_h/10^h.

Ora: se j<=k, x_j<=x_k
se invece j>k, x_j=x_k+n_{k+1}/10^{k+1}+...+n_j/10^j.

Ma gli ultimi addendi sono tutti 9, dopo il k-esimo termine (per ipotesi). Da cui

x_j=x_k+9/10^{k+1}+...+9/10^j.
x_j=x_k+(9/10^{k+1})*(1+1/10+...+1/10^(j-k-1)).

che è una progressione geometrica di ragione 1/10, e che dunque vale (1-(1/10)^(j-k-1+1))/(1-1/10), da cui

x_j=x_k+(9/10^{k+1})*(1-(1/10)^(j-k-1+1))/(9/10).

Se te la scrivi su carta si vede bene come si semplificano il 9 e il 10 e come si mangiano le altre cose, e si ottiene

x_j=x_k+1/10^k-1/10^j.

Ora:
x=Sup_{su tutti i j}({x_j})=Sup_{su tutti i j>k}({x_j})

cioè il sup possiamo prenderlo solo su tutti i termini >k, visto che i termini di{x_j} sono crescenti. Allora

x=Sup_{su tutti i j>k}(x_k+1/10^k-1/10^j)=x_k+1/10^k+Sup_{su tutti i j>k}(-1/10^j)=x_k+1/10^k-Inf_{su tutti i j>k}(1/10^j),

dove l'ultimo passo vale per le proprietà di Sup e Inf. Ma chiaramente Inf_{su tutti i j>k}(1/10^j)=0 (cioè all'aumentare di j, 1/10^j è piccolo a piacere), da cui

x=x+1/10^k, cioè 0=1/10^k il che è un palese assurdo.

Se ne deduce che non possono esistere rappresentazioni di periodo 9. (ti risparmio la parte dell'esistenza e unicità delle altre Wink, se ti serve fai un fischio).
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Francesco
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MessaggioInviato: Ven Nov 17, 2006 1:16 am    Oggetto: Rispondi citando

apprezzo il risparmio dell'esistenza e unicità delle altre rappresentazioni Smile
grazie dello sbattimento sono riuscito/mi sono ricordato solo adesso di leggere il tutto velocemente, ma prometto che ci riguarderò ancora a breve, grazie Smile
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