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Andrea Moderatore

Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Gio Mar 11, 2004 9:35 pm Oggetto: [Statistica] Statistica: ci proviamo? |
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Proviamo a fare l'esercizio sulle palline (NO SOLUZIONI COMPLETE)?
Riporto il testo:
Abbiamo un'urna contenente 5 palline nere (N) e 6 palline rosse (R). Si eseguano due estrazioni. Dire qual'� la probabilit� che la seconda pallina sia nera nei casi:
A) l'estrazione � con rimessa
B) l'estrazione � senza rimessa
L'ultima modifica di Andrea il Lun Mar 15, 2004 9:49 pm, modificato 1 volta |
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Andrea Moderatore

Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Gio Mar 11, 2004 9:57 pm Oggetto: |
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(uso la sintassi del latex, \Omega � omega maiuscolo, \omega minuscolo, \in il simbolo appartenente)
Io l'ho pensato cos�:
Insieme degli eventi elementari:
\Omega={(p_1,p_2) \in [1,11]}
Insieme degli eventi
A={(p_1,p_2) \in \Omega, p_2="N"}
Cardinalit� degli insiemi
N=card(\Omega)=11^2 (prodotto cartesiano)
A) Con rimessa
Gli eventi sono indipendenti, quindi potr� avere 5X6 casi utili:
n_A=card(A)=5*6=30
Quindi seguendo l'approccio classico a priori dovrei dire che
P(A)=n_A/N=30/121=0.248
B) Senza rimessa
Gli eventi sono dipendenti... e poi??? |
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Endless Utente adulto


Registrato: 23/12/03 18:06 Messaggi: 2905 Residenza: Bergamo (provincia)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 12:06 am Oggetto: |
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Credo che c'entrino le probabilit� condizionate* e il teorema delle probabilit� toali**.
(Caso senza rimessa)
[*] primo scenario) Supponiamo che la prima pallina estratta fosse rossa, la probabilit� che alla seconda estrazione esca una pallina nera �:
B1= {ω: p1="R"} --> P(A/B1)= 6/10
secondo scenario) Supponiamo che la prima pallina estratta fosse nera, la probabilit� che alla seconda estrazione esca una pallina nera � 4/10
B2= {ω: p1="N"} --> P(A/B1)= 4/10
[**] In ognuno dei 2 casi la premessa era che B1 e B2 fossero eventi dati; dato che non possiamo saperlo, dobbiamo considerare anche le situazioni sfavorevoli moltipicando la probabilit� che la seconda pallina sia nera (una volta nel caso in cui B1 sia verificato e una volta in caso sia verificato B2) per le probabilit� stesse di B1 e B2:
P(p_2="N") = {[(6/10)X(6/11)]+[(4/10)X(5/11)]} = 0,509 (pi� di 1/2.. ma mi sembra un po' altino.. )
Oppure, pi� semplicemente, probrebbe essere che P(p_2="N") sia l'intersezione (cio� il prodotto) delle 2 possibilit� (cio� con p_1="R" e con p_1="N") ovvero:
0,6X0,4= 0,24
Ma non fidatevi!!  _________________
Training autogeno: in caso di stress, eseguite il movimento in figura e ripetete:
"Amo il mio lavoro! Amo il mio lavoro! Amo il mio lavoro!" |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 10:15 am Oggetto: |
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Bravo Andrea, buon topic!
Caso con rimessa
Se analizzo il caso con rimessa, gli eventi sono indipendenti.
Questo si pu� capire anche dal fatto che non cambia nulla se estraggo una pallina da un urna e poi la rimetto dentro oppure ho due urne e estraggo una pallina per urna.
Ovviamente i due eventi non sono legati tra loro.
Quindi la possibilit� di estrarre una pallina nera alla seconda estrazione non dipende da ci� che � uscito dalla prima. Ed � esattamente 5/11 = 0.45.
Nel caso senza rimessa gli eventi non sono pi� indipendenti: la soluzione di Endless secondo me potrebbe andare, ma ci penso meglio dopo. _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Andrea Moderatore

Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 11:34 am Oggetto: |
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Ho scritto una c*****a!
A) Caso con rimessa
n_A = card(A) = 5*11 = 55
P(A) = n_A/N= (5*11)/(11*11) = 5/11 = 0.45
Forse ho risolto anche l'altro pezzo... |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 12:47 pm Oggetto: |
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Non ho capito cosa vuol dire NO SOLUZIONI COMPLETE che hai scritto nel primo messaggio.
Andrea ha scritto: | Forse ho risolto anche l'altro pezzo... |
Quale altro pezzo?  _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Andrea Moderatore

Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 12:53 pm Oggetto: |
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vinz ha scritto: | Non ho capito cosa vuol dire NO SOLUZIONI COMPLETE che hai scritto nel primo messaggio.
Andrea ha scritto: | Forse ho risolto anche l'altro pezzo... |
Quale altro pezzo?  |
Quello che mi mancava di capire...
In pratica con la rimessa inserisco altri sue eventi B_1 e B_2 che indicano pallina nera (B_1) o rossa (B_2). B_1, B_2 realizzano una partizione di \Omega.
Quindi
Se la prima pallina � nera B_1 � verificato, P(AB_1)=4/10 e P(B_1)=5/11
Se la seconda pallina � rossa B_2 � verificato , P(AB_2)=5/10 e P(B_2)=6/11
Seguo due strade diverse:
I) Sommo le probabilit� condizionate
P(A|B_1)=(4/10)/(5/11)=22/25
P(A|B_2)=(5/10)/(6/11)=11/12
------------------------------------
P(A)=22/25+11/12=539/300 ??????
II) Teorema della probabilit� totale
P(A) = (22/25)*(5/11)+(11/12)*(6/11)=9/10 ????????
Boh???? |
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Ghisa Utente adulto


Registrato: 06/02/04 20:29 Messaggi: 2588 Residenza: San Pellegrino Terme
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:13 pm Oggetto: |
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E fare un bel salto all'experia e chiedere consiglio all'illustrissima prof.ssa Romagnoli!?!?!
 _________________ Principio di Indeterminazione di Heineken: Non potrai mai essere sicuro del numero di birre che hai bevuto la notte scorsa.
LucaGhisalberti.com |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:22 pm Oggetto: |
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Ghisa ha scritto: | E fare un bel salto all'experia e chiedere consiglio all'illustrissima prof.ssa Romagnoli!?!?!
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..... ehi.. ma perch� tutto 'sto casino?!?!
Andrea ha scritto: | B) Senza rimessa
Gli eventi sono dipendenti... e poi??? |
I tuoi casi favorevoli sono:
1- Esce la prima nera e la seconda nera
2- Esce la prima rossa e la seconda nera
Essendo impossibile che si verifichino contemporaneamente, andiamo a sommarne le probabilit� dei due singoli casi.
1] Che esca la prima nera la probabilit� � 5/11. Ora hai una pallina nera in meno. Dunque la probabilit� che anche la seconda sia nera � di 4/10. Probabilit� composta = 20/110 = 2/11
2] Che esca la prima rossa la probabilit� � 6/11. Ora non c'� pi� una rossa. Che la seconda sia nera la probabilit� � 5/10. Dunque probabilit� composta = 30/110= 3/11.
Somma delle probabilit� composte = 5/11.
Ossia: secondo i miei calcoli reinserire o non reinserire una pallina � la stessa cosa ... pu� essere??!?! mah!
Ma potrei sbagliarmi, non fidatevi troppo dei matematici, che non hanno ancora studiato seriamente probabilit�!
Per Endless: se il numero di palline nere � minore delle rosse credo sia intuitivamente assurdo che la probabilit� di estrazione di una nera al secondo tentativo sia MAGGIORE di 1/2... _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:25 pm Oggetto: |
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Ok. In arrivo questo programmino. Pi� o meno mi d� ragione!
http://web.rossoalice.it/daniele_ghisi/programmi/Probab.exe
� fatto in fretta. dunque non troppe critiche!!  _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Andrea Moderatore

Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:55 pm Oggetto: |
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Ghisa ha scritto: | E fare un bel salto all'experia e chiedere consiglio all'illustrissima prof.ssa Romagnoli!?!?!
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PuaAAAAAHHAHAHAHHAHHHHHHHH AHHHHHA HAHAHHH!!! |
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Andrea Moderatore

Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 6:24 pm Oggetto: |
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Omino Na ha scritto: |
1] Che esca la prima nera la probabilit� � 5/11. Ora hai una pallina nera in meno. Dunque la probabilit� che anche la seconda sia nera � di 4/10. Probabilit� composta = 20/110 = 2/11
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Oppppppssssss... ecco cosa sbagliavo... la formula delle propriet� condizionate � P(A|B)=P(AintersezioneB)/P(B)
Io conosco P(A|B) (la probabilit� di A "normalizzata" nella partizione B, cio� in pratica la probabilit� che ha A di verificarsi ipotizzando che B si sia verificato), conosco P(B), ma non conosco P(AintersezioneB) (che � uno dei possibili fattori della scomposizione di A secondo le partizioni B, in pratica sarebbe la parte di A "normalizzata" su Omega).
Ok, le strade "formali" sono due:
I) Riscrivo la formula della prob. condizionata come P(AintersezioneB) = P(A|B)*P(B), calcolo le due probabilit� per B=B1 e B=B2 e poi semplicemente le sommo, dato che AintersezioneB1 e AintersezioneB2 sono insiemi disgiunti e vale l'additivit� P((AintersezioneB1)unione(AintersezioneB2))=P(AintersezioneB2)+P(AintersezioneB2).
II) Uso direttamente il teorema della probabilit� totale P(A)=P(AintersezioneB1)*P(B1)+(AintersezioneB2)*P(B2) (praticamente � lo stesso passaggio del primo, solo che scitto direttamente).
A numeri (seguo la prima strada)
P(B1)=5/11, P(B2)=6/11, P(A|B1)=4/10, P(A|B2)=5/10
P(AintersezioneB1)=P(A|B1)*P(B1)=(5/11)*(4/10)=20/110
P(AintersezioneB2)=P(A|B2)*P(B2)=(6/11)*(5/10)=30/110
P(A)=P(AintersezioneB1)+P(AintersezioneB2)=20/110+30/110=50/110=5/11=0.45 (confermato dal programmino)
Effettivamente � uguale al caso con rimessa... mah!
(Scusate per tutta la trattazione, ma mi serviva per fissare in testa alcune cose!) |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 6:58 pm Oggetto: |
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La strada seguita da Endless era giusta. Ha solo sbagliato:
Endless ha scritto: | Supponiamo che la prima pallina estratta fosse rossa, la probabilit� che alla seconda estrazione esca una pallina nera �:
B1= {ω: p1="R"} --> P(A/B1)= 6/10 |
Non 6/10, ma 5/10.
Anche io, rifacendo i conti di Endless, ero arrivato a 5/11. Probabilmente � solo una coincidenza.
Per provare che sia una coincidenza si potrebbe rifare il ragionamento con A = {"La 2a pallina � rossa"} .
La probabilit� con rimessa � 6/11: quella senza?  _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Andrea Moderatore

Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 7:15 pm Oggetto: |
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vinz ha scritto: | La probabilit� con rimessa � 6/11: quella senza?  |
6/11 ancora! C'� il trucco, minimo! |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 7:23 pm Oggetto: |
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Andrea, sulla strada di Omino Na, ha scritto: | 6/11 ancora! C'� il trucco, minimo! |
Conoscendo Fass�, era tutto calcolato!
Comunque era ovvio: se la probabilit� di estrarra la seconda pallina nera (senza rimessa) era 5/11, quella di estrarne una rossa � 6/11.
Anche tu hai rifatto tutti i calcoli?  _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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