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Tomaux · Inviato: Mer Ott 25, 2006 6:50 pm Oggetto: Terremoto nei numeri razionali

hanno appena finito di dimostrare che 0.9999999... � esattamente uguale a uno.

questo penso che metta in discussione tutta la teoria sui numeri razionali e di conseguenza anche nei reali e nei complessi!

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
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A volte mi fermo e penso:
"THE EARTHQUAKE!!! OH MY FUCKING GOD, THE EARTHQUAKE!!!"

Andrea · Moderatore Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200

Ho chiamato Omino Na, ma sua madre mi ha detto che si � buttato dalla finestra con la tesi sottobraccio Very Happy

Tomaux · Inviato: Mer Ott 25, 2006 7:04 pm Oggetto:

ahahahahah
anche io ho pensato a lui!!
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Tomaux · Inviato: Mer Ott 25, 2006 7:04 pm Oggetto:

fra l'altro non abita mica al piano terra? non si sar� fatto niente!!
eehheh
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vinz · Inviato: Mer Ott 25, 2006 10:30 pm Oggetto:

Ma, che io sappia, la dimostrazione che 0.999... � uguale a 1 � nota da tempo, e non � difficile... Rolling Eyes

Neo dottore, aspettiamo una tua illuminazione. Very Happy

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Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla

Omino Na · Inviato: Mer Ott 25, 2006 11:41 pm Oggetto: Re: Terremoto nei numeri razionali

Tomaux · Inviato: Mer Ott 25, 2006 11:54 pm Oggetto:

speravo che stesse per crollare tutta la matematica... Sad

peccato... Crying or Very sad

va beh, ma alla fine noi ingegneri lo sappiamo dalla notte dei tempi che non c'� differenza tra 1 e 0,9999... ma manche tra 1 e 1,00002 o 0.9999998768

eheh
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Andrea · Moderatore Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200

vinz · Inviato: Gio Ott 26, 2006 4:37 pm Oggetto: Re: Terremoto nei numeri razionali

Francesco · Inviato: Gio Ott 26, 2006 5:20 pm Oggetto:

interessante! Quindi la dimostrazione spiegherebbe come mai proprio gli allineamenti di periodo 9, e solo quelli, non ammettono una rappresentazione decimale?
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God is real........... unless declared integer or long

Omino Na · Inviato: Gio Ott 26, 2006 6:32 pm Oggetto:

Francesco · Inviato: Gio Ott 26, 2006 7:00 pm Oggetto:

Omino Na · Inviato: Mar Ott 31, 2006 4:44 pm Oggetto:

Scusa il ritardo, ma ho avuto un po' da fare... Mi faccio perdonare scrivendoti subito la dimostrazione. Ti do anche un primo risultato che si usa nella dimostrazione del secondo, spero non risulti troppo confuso, l'ho scritto piuttosto rapidamente.

PRIMO RISULTATO:
Sia x un numero reale positivo, sia n_0,n_1 n_2 n_3 n_4... la sua rappresentazione decimale. Detta x_k=somme (da i=0 a k) di n_i/10^i, possiamo dire che il numero reale x � l'estremo superiore degli x_k, cio� x=Sup({x_k}).

Sicuramente per ogni k positivo x_k<=x<=x_k+1/10^k, per come sono costruiti. Dunque sicuramente x � un maggiorante dell'insieme degli {x_k}, e tra i maggioranti � il pi� piccolo: supponiamo che ne esista uno pi� piccolo, diciamo x-E con E positivo.
Comunque fissato questo E, esister� un x_q t.c. x-E<=x_q<x, e che soddisfi anche E>1/10^q (basta scegliere q abbastanza grande). In questo caso si ha
x_q=(x_q-x)+x>-1/10^k+x>-E+x,
e dunque abbiamo trovato un elemento della successione maggiore di questo x-E, da cui x-E non pu� essere maggiorante.

SECONDO RISULTATO. Non esistono rappresentazioni decimali periodiche di periodo nove. Ogni altro allineamento � la rappresentazione decimale di uno ed un solo numero reale non negativo.

Dimostrazione.
Consideriamo un allineamento del tipo
n_0, n_1 n_2 n_3 ...... n_k 9 9 9 9 9 9.... (e poi tutti 9, con n_k!=9).

Per assurdo sia la rappresentazione decimale di un certo numero reale x. Allora per il risultato precedente si avrebbe
x=Sup({x_j})
dove al solito gli x_j=SOMME(per h che va da 0 a j) di n_h/10^h.

Ora: se j<=k, x_j<=x_k
se invece j>k, x_j=x_k+n_{k+1}/10^{k+1}+...+n_j/10^j.

Ma gli ultimi addendi sono tutti 9, dopo il k-esimo termine (per ipotesi). Da cui

x_j=x_k+9/10^{k+1}+...+9/10^j.
x_j=x_k+(9/10^{k+1})*(1+1/10+...+1/10^(j-k-1)).

che � una progressione geometrica di ragione 1/10, e che dunque vale (1-(1/10)^(j-k-1+1))/(1-1/10), da cui

x_j=x_k+(9/10^{k+1})*(1-(1/10)^(j-k-1+1))/(9/10).

Se te la scrivi su carta si vede bene come si semplificano il 9 e il 10 e come si mangiano le altre cose, e si ottiene

x_j=x_k+1/10^k-1/10^j.

Ora:
x=Sup_{su tutti i j}({x_j})=Sup_{su tutti i j>k}({x_j})

cio� il sup possiamo prenderlo solo su tutti i termini >k, visto che i termini di{x_j} sono crescenti. Allora

x=Sup_{su tutti i j>k}(x_k+1/10^k-1/10^j)=x_k+1/10^k+Sup_{su tutti i j>k}(-1/10^j)=x_k+1/10^k-Inf_{su tutti i j>k}(1/10^j),

dove l'ultimo passo vale per le propriet� di Sup e Inf. Ma chiaramente Inf_{su tutti i j>k}(1/10^j)=0 (cio� all'aumentare di j, 1/10^j � piccolo a piacere), da cui

x=x+1/10^k, cio� 0=1/10^k il che � un palese assurdo.

Se ne deduce che non possono esistere rappresentazioni di periodo 9. (ti risparmio la parte dell'esistenza e unicit� delle altre Wink

, se ti serve fai un fischio).
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"Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica)

Francesco · Inviato: Ven Nov 17, 2006 1:16 am Oggetto:

apprezzo il risparmio dell'esistenza e unicit� delle altre rappresentazioni Smile

grazie dello sbattimento sono riuscito/mi sono ricordato solo adesso di leggere il tutto velocemente, ma prometto che ci riguarder� ancora a breve, grazie Smile

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