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www.vincenzomanzoni.com Homepage personale e blog di Vincenzo Manzoni
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Sab Nov 13, 2004 4:04 pm Oggetto: Gioco di carte (Omino Na, questo � tuo) |
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Vi spiego un gioco da carte da fare con un vostro amico, che magari vi permetter� anche di vincere una scommessa.
Due mazzi di carte bergamasche: 40 carte.
Un mazzo per uno.
Io giro una carta e lui ne gira una. E cos� fino alla fine dei due mazzi.
Se almeno una volta le due carte sono uguali, vinco io.
Sembra poco probabile la riuscita, ma vi assicuro che su tre volte, per tre volte ho vinto.
Omino Na, riesci a tirare fuori una motivazione statistica? Io ci ho provato con il calcolo combinatorio, ma non ne sono venuto a capo...  _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 3:32 am Oggetto: |
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Sembrava un problema molto pi� semplice, a primo acchito, e invece non � affatto banale. Ci ho pensato un po' oggi a milano, e i vari modi che avevo pensato in astratto, quando pochi minuti fa li ho messi al vaglio del calcolatore, hanno fallito tutti miseramente.
Numericamente (Visual Basic) la probabilit� che esista almeno una carta uguale durante il gioco � di circa 0.7; dunque abbastanza "consistente", ma non troppo da giocarci d'azzardo
Il valore atteso mi pare sia intorno all'1,13 o gi� di l�; comunque superiore a 1.
Magari domani ci ripenso anche a mente un po' pi� lucida. _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 3:52 am Oggetto: |
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Uhm, no, non � per nulla facile.
Credo per� che si possa ricondurre al seguente problema (pi� chiaro ma non poi tanto pi� semplice):
Abbiamo 40 carte numerate dall'1 al 40; le mescoliamo e le mettiamo in fila in posti numerati dall'1 al 40: qual � la probabilit� che almeno una carta sia al suo posto?
Moralmente il problema � molto simile, ma anche quest'ultimo non � immediato da risolvere. Anzi non credo sia per niente facile. _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 11:30 am Oggetto: |
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Grazie Daniele.
Mi era sembrato di capire che non fosse un problema "banale", per questo avevo chiesto il tuo aiuto.
Oggi pomeriggio faccio anche io una simulazione, con Java, e vedo che risultato ottengo.
E se, umilmente , provassimo a chiedere a quelli del forum it.scienza.matematica? Magari ci risponde Sorrentino...  _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 1:55 pm Oggetto: |
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vinz ha scritto: | Grazie Daniele.
Mi era sembrato di capire che non fosse un problema "banale", per questo avevo chiesto il tuo aiuto.
Oggi pomeriggio faccio anche io una simulazione, con Java, e vedo che risultato ottengo.
E se, umilmente , provassimo a chiedere a quelli del forum it.scienza.matematica? Magari ci risponde Sorrentino...  |
Lasciami ancora un paio di giorni per pensarci... Poi chiediamo ai probabilisti di ism, ok?
Per� l'idea che potrebbe rispondere Sorrentino mi sconfiffera assai!....  _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 3:58 pm Oggetto: |
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Forse non � proprio analogo al gioco di cui parlavo qualche post fa. A un'analisi pi� attenta, infatti, la probabilit� di quel gioco dovrebbe essere una serie che tende a e^(-1) all'aumentare del numero di carte (ora scappo a vedere uno spettacolo, poi appena torno, oppure stanotte cerco di postare i miei calcoli)
Invece il tuo gioco, Vinz, ha una probabilit� che intuitivamente (e sperimentalmente) sembra tendere a 1 all'aumentare del numero delle carte.
Devo trovare l'inghippo.
Dagli a te, Vinz, che hai proposto 'sto gioco.  _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 4:11 pm Oggetto: |
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Pardon, intendevo 1-e^(-1).
Vediamo se ho tempo di spiegarlo subito.
Abbiamo N carte numerate da 1 a N, in N posizioni diverse, numerate da 1 a N: qual � la probabilit� che almeno una carta sia nella sua posizione?
La probabilit� di trovare ALMENO una carta nella sua posizione sembrerebbe essere questa:
Numero di combinazioni con ALMENO una carta nella sua posizione
FRATTO
Numero di combinazioni totali
Il numero di combinazioni totali con cui posso prendere le N carte � esattamente N!.
Il numero di combinazioni che mi danno almeno una carta nella sua posizione lo ottengo cos�:
Le combinazioni che mi danno l'1 nella sua posizione sono (N-1)! (ossia faccio variare liberamente le altre carte), idem per quelle che mi danno il 2 nella sua posizione e cos� via. In totale ho N(N-1)!=N!, che diviso per le combinazioni totali mi d� 1.
Sembrerebbe che la probabilit� sia 1: impossibile!! (ovviamente). L'inghippo � che cos� facendo, io ho contato due volte le combinazioni che hanno DUE CARTE IN COMUNE!!! (� qui il punto) Dunque devo sottrarre la probabilit� di avere due carte in comune. Il numero di combinazioni con due carte in comune sono:
fissate due carte, le altre variano in (N-2)! modi, e ho per� anche (N su 2) modi per fissare le due carte (dove N su 2 � il coeff. binomiale). Dunque le combinazioni totali sono N!(N-2)! /2!(N-2)!=N!/2!
E la probabilit� (dividendo per N!) risulta essere 1/2!, probabilit� che devo togliere alla precedente.
Ma TOGLIENDOLA ho TOLTO anche tutte quelle combinazioni che avevano TRE CARTE in comune, e quindi devo aggiungerle.... e cos� via: tolgo quelle con 4, aggiungo quelle con 5 ecc.
In generale, per ottenere il numero di combinazioni con M carte in comune, faccio variare le altre in (N-M)! modi, e poi moltiplico per gli (N su M) modi di fissare tali carte. ovvero (N-M)! N!/M!(N-M!)=N!/M!, da cui la probabilit� � 1/M!.
La probabilit� totale di averne almeno una si ottiene sommando algebricamente tutto ci�:
1-1/2!+1/3!-1/4!+......+ ((-1)^(N+1))/N!
In questa serie si riconosce abbastanza agevolmente lo sviluppo di Taylor per 1-e^(-1): dunque per N-->+inf si ha che la probabilit� tende a 1-e^(-1).
Ripeto: sperimentalmente, per� il gioco del Vinz sembra andare in maniera diversa, con la probabilit� che tende a 1 all'aumentare di N.
Dunque forse non sembrano essere proprio la stessa cosa.
Ad ogni modo, faccio notare che 1-e^(-1) non � una probabilit� di riuscita bassa per un gioco a cui, intuitivamente, io avrei dato una probabilit� di riuscita molto minore. _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 8:13 pm Oggetto: |
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Fanculo alle simulazioni che danno tutt'altri risultati. Io mi fido della mia buona teoria!  _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 8:29 pm Oggetto: |
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Ho quasi terminato il programmino per le simulazioni.
Secondo me la tua teoria � applicabile anche al nostro caso, uguale uguale. _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 9:47 pm Oggetto: |
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La calcolatrice di Google (http://www.google.it/search?hl=it&q=1-exp%28-1%29&btnG=Cerca&meta=) mi dice che 1 - exp(-1) � uguale a:
La calcolatrice di Google ha scritto: | 1 - exp(-1) = 0.632120559 |
10.000 simulazione del mio programma mi hanno dato 6331 casi favorevoli, quindi 0.6331, molto molto vicino a 0.6321.
Come valore atteso ho un 0.9986, quindi molto prossimo a 1.
Bravo Omino Na, la tua teoria � senz'altro giusta!  _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla
L'ultima modifica di vinz il Dom Nov 14, 2004 9:53 pm, modificato 1 volta |
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vinz Amministratore


Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Dom Nov 14, 2004 9:50 pm Oggetto: |
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Adesso che ci penso, � interessante notare che si ha pi� del 50% di possibilit� di vincere; scommettendo quindi "alla pari" (1 a 1), � un gioco favorevole.
Inoltre, dopo che sono uscite una volta due carte uguali, � molto difficile che escano una seconda volta altre due carte uguali. _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Lun Nov 15, 2004 1:14 am Oggetto: |
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vinz ha scritto: | Adesso che ci penso, � interessante notare che si ha pi� del 50% di possibilit� di vincere; scommettendo quindi "alla pari" (1 a 1), � un gioco favorevole. |
Ok. Porti tu il baracchino in stazione centrale?  _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Omino Na Utente maturo


Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Lun Nov 15, 2004 1:15 am Oggetto: |
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vinz ha scritto: | 10.000 simulazione del mio programma mi hanno dato 6331 casi favorevoli, quindi 0.6331, molto molto vicino a 0.6321. |
Allora � la mia simulazione ad essere sbagliata... azzo, dovr� riguardarla. Beh, dai, sono contento che almeno la teoria sembra giusta. _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa � molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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