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Andrea Moderatore
Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Gio Mar 11, 2004 9:35 pm Oggetto: [Statistica] Statistica: ci proviamo? |
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Proviamo a fare l'esercizio sulle palline (NO SOLUZIONI COMPLETE)?
Riporto il testo:
Abbiamo un'urna contenente 5 palline nere (N) e 6 palline rosse (R). Si eseguano due estrazioni. Dire qual'è la probabilità che la seconda pallina sia nera nei casi:
A) l'estrazione è con rimessa
B) l'estrazione è senza rimessa
L'ultima modifica di Andrea il Lun Mar 15, 2004 9:49 pm, modificato 1 volta |
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Andrea Moderatore
Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Gio Mar 11, 2004 9:57 pm Oggetto: |
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(uso la sintassi del latex, \Omega è omega maiuscolo, \omega minuscolo, \in il simbolo appartenente)
Io l'ho pensato così:
Insieme degli eventi elementari:
\Omega={(p_1,p_2) \in [1,11]}
Insieme degli eventi
A={(p_1,p_2) \in \Omega, p_2="N"}
Cardinalità degli insiemi
N=card(\Omega)=11^2 (prodotto cartesiano)
A) Con rimessa
Gli eventi sono indipendenti, quindi potrò avere 5X6 casi utili:
n_A=card(A)=5*6=30
Quindi seguendo l'approccio classico a priori dovrei dire che
P(A)=n_A/N=30/121=0.248
B) Senza rimessa
Gli eventi sono dipendenti... e poi??? |
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Endless Utente adulto
Registrato: 23/12/03 18:06 Messaggi: 2905 Residenza: Bergamo (provincia)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 12:06 am Oggetto: |
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Credo che c'entrino le probabilità condizionate* e il teorema delle probabilità toali**.
(Caso senza rimessa)
[*] primo scenario) Supponiamo che la prima pallina estratta fosse rossa, la probabilità che alla seconda estrazione esca una pallina nera é:
B1= {ω: p1="R"} --> P(A/B1)= 6/10
secondo scenario) Supponiamo che la prima pallina estratta fosse nera, la probabilità che alla seconda estrazione esca una pallina nera é 4/10
B2= {ω: p1="N"} --> P(A/B1)= 4/10
[**] In ognuno dei 2 casi la premessa era che B1 e B2 fossero eventi dati; dato che non possiamo saperlo, dobbiamo considerare anche le situazioni sfavorevoli moltipicando la probabilità che la seconda pallina sia nera (una volta nel caso in cui B1 sia verificato e una volta in caso sia verificato B2) per le probabilità stesse di B1 e B2:
P(p_2="N") = {[(6/10)X(6/11)]+[(4/10)X(5/11)]} = 0,509 (più di 1/2.. ma mi sembra un po' altino.. )
Oppure, più semplicemente, probrebbe essere che P(p_2="N") sia l'intersezione (cioè il prodotto) delle 2 possibilità (cioè con p_1="R" e con p_1="N") ovvero:
0,6X0,4= 0,24
Ma non fidatevi!! _________________
Training autogeno: in caso di stress, eseguite il movimento in figura e ripetete:
"Amo il mio lavoro! Amo il mio lavoro! Amo il mio lavoro!" |
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vinz Amministratore
Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 10:15 am Oggetto: |
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Bravo Andrea, buon topic!
Caso con rimessa
Se analizzo il caso con rimessa, gli eventi sono indipendenti.
Questo si può capire anche dal fatto che non cambia nulla se estraggo una pallina da un urna e poi la rimetto dentro oppure ho due urne e estraggo una pallina per urna.
Ovviamente i due eventi non sono legati tra loro.
Quindi la possibilità di estrarre una pallina nera alla seconda estrazione non dipende da ciò che è uscito dalla prima. Ed è esattamente 5/11 = 0.45.
Nel caso senza rimessa gli eventi non sono più indipendenti: la soluzione di Endless secondo me potrebbe andare, ma ci penso meglio dopo. _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Andrea Moderatore
Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 11:34 am Oggetto: |
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Ho scritto una c*****a!
A) Caso con rimessa
n_A = card(A) = 5*11 = 55
P(A) = n_A/N= (5*11)/(11*11) = 5/11 = 0.45
Forse ho risolto anche l'altro pezzo... |
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vinz Amministratore
Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 12:47 pm Oggetto: |
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Non ho capito cosa vuol dire NO SOLUZIONI COMPLETE che hai scritto nel primo messaggio.
Andrea ha scritto: | Forse ho risolto anche l'altro pezzo... |
Quale altro pezzo? _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Andrea Moderatore
Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 12:53 pm Oggetto: |
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vinz ha scritto: | Non ho capito cosa vuol dire NO SOLUZIONI COMPLETE che hai scritto nel primo messaggio.
Andrea ha scritto: | Forse ho risolto anche l'altro pezzo... |
Quale altro pezzo? |
Quello che mi mancava di capire...
In pratica con la rimessa inserisco altri sue eventi B_1 e B_2 che indicano pallina nera (B_1) o rossa (B_2). B_1, B_2 realizzano una partizione di \Omega.
Quindi
Se la prima pallina è nera B_1 è verificato, P(AB_1)=4/10 e P(B_1)=5/11
Se la seconda pallina è rossa B_2 è verificato , P(AB_2)=5/10 e P(B_2)=6/11
Seguo due strade diverse:
I) Sommo le probabilità condizionate
P(A|B_1)=(4/10)/(5/11)=22/25
P(A|B_2)=(5/10)/(6/11)=11/12
------------------------------------
P(A)=22/25+11/12=539/300 ??????
II) Teorema della probabilità totale
P(A) = (22/25)*(5/11)+(11/12)*(6/11)=9/10 ????????
Boh???? |
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Ghisa Utente adulto
Registrato: 06/02/04 20:29 Messaggi: 2588 Residenza: San Pellegrino Terme
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:13 pm Oggetto: |
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E fare un bel salto all'experia e chiedere consiglio all'illustrissima prof.ssa Romagnoli!?!?!
_________________ Principio di Indeterminazione di Heineken: Non potrai mai essere sicuro del numero di birre che hai bevuto la notte scorsa.
LucaGhisalberti.com |
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Omino Na Utente maturo
Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:22 pm Oggetto: |
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Ghisa ha scritto: | E fare un bel salto all'experia e chiedere consiglio all'illustrissima prof.ssa Romagnoli!?!?!
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..... ehi.. ma perché tutto 'sto casino?!?!
Andrea ha scritto: | B) Senza rimessa
Gli eventi sono dipendenti... e poi??? |
I tuoi casi favorevoli sono:
1- Esce la prima nera e la seconda nera
2- Esce la prima rossa e la seconda nera
Essendo impossibile che si verifichino contemporaneamente, andiamo a sommarne le probabilità dei due singoli casi.
1] Che esca la prima nera la probabilità è 5/11. Ora hai una pallina nera in meno. Dunque la probabilità che anche la seconda sia nera à di 4/10. Probabilità composta = 20/110 = 2/11
2] Che esca la prima rossa la probabilità è 6/11. Ora non c'è più una rossa. Che la seconda sia nera la probabilità è 5/10. Dunque probabilità composta = 30/110= 3/11.
Somma delle probabilità composte = 5/11.
Ossia: secondo i miei calcoli reinserire o non reinserire una pallina è la stessa cosa ... può essere??!?! mah!
Ma potrei sbagliarmi, non fidatevi troppo dei matematici, che non hanno ancora studiato seriamente probabilità!
Per Endless: se il numero di palline nere è minore delle rosse credo sia intuitivamente assurdo che la probabilità di estrazione di una nera al secondo tentativo sia MAGGIORE di 1/2... _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa è molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Omino Na Utente maturo
Registrato: 27/12/03 12:27 Messaggi: 1321 Residenza: Seriate (BG)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:25 pm Oggetto: |
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Ok. In arrivo questo programmino. Più o meno mi dà ragione!
http://web.rossoalice.it/daniele_ghisi/programmi/Probab.exe
è fatto in fretta. dunque non troppe critiche!! _________________ "Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa è molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica) |
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Andrea Moderatore
Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 5:55 pm Oggetto: |
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Ghisa ha scritto: | E fare un bel salto all'experia e chiedere consiglio all'illustrissima prof.ssa Romagnoli!?!?!
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PuaAAAAAHHAHAHAHHAHHHHHHHH AHHHHHA HAHAHHH!!! |
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Andrea Moderatore
Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 6:24 pm Oggetto: |
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Omino Na ha scritto: |
1] Che esca la prima nera la probabilità è 5/11. Ora hai una pallina nera in meno. Dunque la probabilità che anche la seconda sia nera à di 4/10. Probabilità composta = 20/110 = 2/11
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Oppppppssssss... ecco cosa sbagliavo... la formula delle proprietà condizionate è P(A|B)=P(AintersezioneB)/P(B)
Io conosco P(A|B) (la probabilità di A "normalizzata" nella partizione B, cioè in pratica la probabilità che ha A di verificarsi ipotizzando che B si sia verificato), conosco P(B), ma non conosco P(AintersezioneB) (che è uno dei possibili fattori della scomposizione di A secondo le partizioni B, in pratica sarebbe la parte di A "normalizzata" su Omega).
Ok, le strade "formali" sono due:
I) Riscrivo la formula della prob. condizionata come P(AintersezioneB) = P(A|B)*P(B), calcolo le due probabilità per B=B1 e B=B2 e poi semplicemente le sommo, dato che AintersezioneB1 e AintersezioneB2 sono insiemi disgiunti e vale l'additività P((AintersezioneB1)unione(AintersezioneB2))=P(AintersezioneB2)+P(AintersezioneB2).
II) Uso direttamente il teorema della probabilità totale P(A)=P(AintersezioneB1)*P(B1)+(AintersezioneB2)*P(B2) (praticamente è lo stesso passaggio del primo, solo che scitto direttamente).
A numeri (seguo la prima strada)
P(B1)=5/11, P(B2)=6/11, P(A|B1)=4/10, P(A|B2)=5/10
P(AintersezioneB1)=P(A|B1)*P(B1)=(5/11)*(4/10)=20/110
P(AintersezioneB2)=P(A|B2)*P(B2)=(6/11)*(5/10)=30/110
P(A)=P(AintersezioneB1)+P(AintersezioneB2)=20/110+30/110=50/110=5/11=0.45 (confermato dal programmino)
Effettivamente è uguale al caso con rimessa... mah!
(Scusate per tutta la trattazione, ma mi serviva per fissare in testa alcune cose!) |
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vinz Amministratore
Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 6:58 pm Oggetto: |
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La strada seguita da Endless era giusta. Ha solo sbagliato:
Endless ha scritto: | Supponiamo che la prima pallina estratta fosse rossa, la probabilità che alla seconda estrazione esca una pallina nera é:
B1= {ω: p1="R"} --> P(A/B1)= 6/10 |
Non 6/10, ma 5/10.
Anche io, rifacendo i conti di Endless, ero arrivato a 5/11. Probabilmente è solo una coincidenza.
Per provare che sia una coincidenza si potrebbe rifare il ragionamento con A = {"La 2a pallina è rossa"} .
La probabilità con rimessa è 6/11: quella senza? _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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Andrea Moderatore
Registrato: 23/12/03 13:10 Messaggi: 5200
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 7:15 pm Oggetto: |
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vinz ha scritto: | La probabilità con rimessa è 6/11: quella senza? |
6/11 ancora! C'è il trucco, minimo! |
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vinz Amministratore
Registrato: 12/12/03 12:56 Messaggi: 6648 Residenza: San Pellegrino Terme (Bergamo)
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Inviato: Ven Mar 12, 2004 7:23 pm Oggetto: |
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Andrea, sulla strada di Omino Na, ha scritto: | 6/11 ancora! C'è il trucco, minimo! |
Conoscendo Fassò, era tutto calcolato!
Comunque era ovvio: se la probabilità di estrarra la seconda pallina nera (senza rimessa) era 5/11, quella di estrarne una rossa è 6/11.
Anche tu hai rifatto tutti i calcoli? _________________ Let the future tell the truth and evaluate each one according to his work and accomplishments. The present is theirs; the future, for which I really worked, is mine.
Nikola Tesla |
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