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Matrici e probabilità

 
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Autore Messaggio
Omino Na
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Registrato: 27/12/03 12:27
Messaggi: 1321
Residenza: Seriate (BG)

MessaggioInviato: Dom Apr 11, 2004 1:23 am    Oggetto: Matrici e probabilità Rispondi citando

Problema dibattuto con amici, mi sembrava interessante postarlo.

E' data una matrice A di NxN, riempita casualmente di zeri e uni (N>=3). Sia data una matrice B di 3x3 anch'essa riempita casualmente di zeri e di uni.
Sia X la variabile aleatoria "Il numero di volte che la matrice B è contenuta come sottomatrice nella matrice A".

Per N=3, la A diventa di 3x3, e la probabilità di trovare nella matrice B la matrice A è uguale alla probabilità che A==B. Dunque 1/2^9, dato che ogni valore della matrice può assumere 2 valori, e che i valori sono 9. Dunque il valore attesto per trovare B in A è di 1/2^9. E' una Bernoulli di parametro p=1/2^9. E ci siamo.

Ora sia N generico. Non è difficile dimostrare che le possibili sottomatrici 3x3 contenute in una matrice NxN sono (N-2)^2. Dunque, il tutto si riduce a chiedersi: quante volte la B è uguale a una di queste sottomatrici della A. Ossia abbiamo (N-2)^2 bernoulli di parametro 1/2^9. Il valore attesto è dunque il prodotto dei due parametri, ovvero (N-2)^2 / 2^9. Ma c'è ancora qualche osservazione interessante dal punto di vista teorico.

(se servisse qui c'è un programma in Matlab che svolge tutti i calcoli: http://web.rossoalice.it/daniele_ghisi/altro/matbin.m)

- Che la matrice piccola B sia casuale è COMPLETAMENTE IRRILEVANTE ai fini dell'esperimento. Potremmo prenderne una fissata, ad esempio anche quella con tutti zeri. Sarebbe completamente irrilevante.
- Che la matrice A sia casuale è SOSTANZIALE. Questa sua composizione aleatoria di zeri e uni, infatti, garantisce l'indipendenza della "scansione". Mi spiego meglio. Prendiamo N=4. Ossia, prendiamo una 4x4 e vedi quante volte contiene una 3x3 fissata (o casuale, come detto è la stessa cosa): iniziamo a prendere la prima sottomatrice 3x3, quella in alto a sinistra. Vediamo se coincide oppure no. Spostiamo tutto a destra di un "gradino", e abbiamo un'altra sottomatrice 3x3. In generale, questa sottomatrice DIPENDE SENSIBILMENTE dalla matrice precedente - hanno due colonne in comune!! Ma se la matrice A è casualmente composta da 1 e 0 (con gli 1 e 0 distribuiti uniformemente), spostandomi a destra di un gradino, ottengo un'altra sottomatrice COMPLETAMENTE CASUALE, esattamente quanto quella precedente, pertanto formalmente (e praticamente) indipendente dalla precedente!!! Gli elementi della mia sottomatrice di "scansione", cambiano aleatoriamente, pertanto è come se io avessi ogni volta una matrice indipendente dalla precedente.

E qui il problema sarebbe risolto. Abbiamo il valore attesto (N-2)^2/2^9, confermato dal computer. Ma complichiamoci la vita.
Abbiamo detto che l'aleatorietà di B è irrilevante.
L'aleatorietà di A NO.
Prendendo una A fissata, prendendo una B aleatoria, vedendo quante volte questa B è contenuta nella A fissata, si ottengono risultati del tutto diversi. Esempio. Con N=100, consideriamo la matrice A fissata, composta da tutti ZERI (oppure tutti UNI, è simmetrico il problema, e sono uguali i risultati, ovviamente), prendendo una B aleatoria, vedendo quante volte è contenuta, ripetendo l'esperimento più volte, vediamo che la media si attesta a un valore ben diverso da quello di prima. In generale (qualitativamente) questo valore è tanto più alto tanto maggiore è la "simmetria interna" della matrice A (dunque dovrebbe avere un massimo per A composta da tutti zeri o tutti uni). Sarebbe interessante tradurre questo concetto anche quantitativamente.
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"Se un matematico e un fisico riescono a mettersi d'accordo su una cosa è molto ma molto probabile che questa sia vera." (Wiso, da it.scienza.matematica)
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Andrea
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Registrato: 23/12/03 13:10
Messaggi: 5200

MessaggioInviato: Dom Apr 11, 2004 1:46 am    Oggetto: Re: Matrici e probabilità Rispondi citando

Omino Na ha scritto:
Problema dibattuto con amici, mi sembrava interessante postarlo.

Ok, l'effetto della sangria non è ancora finito neanche per te! Very Happy Very Happy Very Happy
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Omino Na
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Registrato: 27/12/03 12:27
Messaggi: 1321
Residenza: Seriate (BG)

MessaggioInviato: Dom Apr 11, 2004 10:41 am    Oggetto: Re: Matrici e probabilità Rispondi citando

Andrea ha scritto:
Omino Na ha scritto:
Problema dibattuto con amici, mi sembrava interessante postarlo.

Ok, l'effetto della sangria non è ancora finito neanche per te! Very Happy Very Happy Very Happy


Tu scherzi, ma con quella sangria per un po' non è che c'ero molto con la testa, e non rispondevo di me stesso!!!! Wink Very Happy Very Happy
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